인장시험은 만능재료시험기(Universal Test Machine, UH1000KNI)를 이용하였으며 인장시험의 시험편 제작 및 방법은 KS B0801에 따라 진행하였다. 상온과 실제 LNG의 극저온환경을 고려한 설정온도 110K에서 실험을 수행하였다. 110K의 온도를 구현하기 위해 특수 제작된 극저온용 챔버 안에 액체질소를 분사하고 챔버 내부의 온도계 및 제어시스템을 통해 액체질소 분사량이 자동으로 조절되어 설정온도를 유지하도록 하였다. 극저온시험의 경우 시험편 내부의 열평형을 위해 1시간동안 예비 냉각작업을 수행하였다. 변위제어 방식으로 시험속도는 3mm/min로 설정하였으며 정확한 변형률 측정을 위해 극저온용 신율계(3542-050-100-LT, Epsilon)를 시험편 중앙부에 장착하여 인장시험을 수행하였다. 실험결과의 유효성 검증을 위해 각 조건에 따라 5회 반복실험 하였다. 위의 Figure 1은 극저온에서의 인장시험을 위한 극저온챔버를 탑재한 만능재료시험기와 신율계를 나타내며 Figure 2은 시험편의 치수를 도식적으로 보여준다.

Figure 1: 
Experimental setup for tensile test of High manganese steel plate and extensometer

Figure 2: 
Schematic diagram of tensile test specimen

위의 Figure 3은 온도조건에 따른 고망간강의 인장시험 결과를 정리하여 대표적인 결과를 응력-변형률 그래프로 나타낸 것이다. 이 대표적인 결과는 5개의 실험결과 중 유사성이 가장 떨어지는 데이터 2개를 제거한 후 남은 3개의 데이터를 평균한 것이다.

Figure 3: 
Representative results of tensile test for different temperature: 110K, 293K

먼저 상온 시험결과, 60%가 넘는 큰 연신율을 보이며 연성재료의 응력-변형률 그래프와 비슷한 경향을 보였다. 선형구간인 탄성영역에서는 일정한 기울기를 가지며 응력이 꾸준히 증가하다가 항복점 이 후 경화현상(Hardening)이 나타난다. 이는 TWIP강인 고망간강이 소성변형 중 오스테나이트(Austenite) 조직내에서 쌍정(Twinning)이 형성되면서 강도와 연신율이 크게 증가하기 때문이다. 또한 하중이 지속되면서 조직내에 ε-마르텐사이트(Martensite)의 분율이 점차 증가하게 되고 상변태에는 큰 에너지가 소모되기 때문에 경화현상이 지속된다. 그러나 마르텐사이트의 경우 강도증가에는 효과적이나 연성에는 악영향을 미친다. 따라서 고망간강의 경우 일반적인 연성재료와 달리 최대인장강도 이 후에 큰 변형률 없이 곧바로 파단에 이른다. 반면 110K의 극저온시험에서는 강도의 증가는 보였으나 연신율이 크게 줄어듦을 확인하였다. 이는 조직 내에서 ε-마르텐사이트와 α′-마르텐사이트로의 상변태가 빠르게 이뤄지면서 나타난 현상이다. α′-마르텐사이트 역시 강도적으로는 우수하나 연성에는 악영향을 미친다[12].

고망간강의 실험결과, SUS 및 Nickel 강의 비선형 거동과 유사하지만 최대인장강도 이후 급격히 파단되며 극저온에서는 연신율이 크게 줄어듦을 확인하였다. 따라서 강도가 높은 고망간강을 상기 재료의 대체재로 활용한다면 강도적으로 안정성을 꾀할 수는 있지만 허용변위 측면에서는 위험요소가 될 수 있다. 따라서 적용에 앞서 사용 환경에 따른 충분한 검토가 필요할 것이다.

Lemaitre 손상모델은 재료의 손상을 재료 내부 기공의 성장과 미소균열의 영향으로 인한 탄성계수 저하로 표현하고 내부 손상변수를 D로 정의하였다. 이를 일반적인 후크법칙(Hooke's law)로 나타내면 다음과 같다.

여기서, ε^e은 탄성변형률, D는 등방성 재료에 대한 강성텐서(Elasticity stiffness tensor)를 나타낸다. 손상 전의 초기 재료는 D=0의 값을 가지며 재료에 가해지는 하중이 지속될수록 점차 축적된다. 위 식의 응력텐서를 편차응력(Deviatoric stress)과 정수압응력(Hydrostatic stress)의 응력성분으로 나누면 다음과 같이 표현된다.

G와 K는 전단계수(Shear modulus)와 체적탄성계수(Bulk modulus)이며 e^e와 v^e는 각각 편차변형률텐서와 체적변형률을 나타낸다. 일반적으로 하중의 방향이 일정하다면 이동경화(Kinematic hardening)는 실질적인 효과를 보이지 않으므로 단순화된 Lemaitre 손상모델에서는 이를 무시한다. 이에 따른 von-Mises 기반의 항복함수는 다음과 같다.

q는 von-Mises 등가응력, R은 등방경화 내부변수(Isotropic hardening internal variable), σ_y은 등병경화 거동을 표현하는 경화함수이다. 또한 총 변형률은 탄성영역과 소성영역의 변형률합인 ε = ε^e + ε^p의 형태로 나타낼 수 있으며 그에 따른 증분형태는 다음과 같다.

이 때, 소성변형률 증분의 방향은 소성흐름법칙에 의해 항복함수의 접선방향에 항상 수직한 방향이다. 이를 표현하면 아래와 같다.

γ˙은 소성승수(Plastic multiplier)이며 내부변수의 성장(Evolution)에 영향을 미치며 Lemaitre 손상모델에서 표현되는 손상의 진전에 관련된 식들은 앞서 언급한 Lemaitre [1]의 연구에 따라 아래와 같이 나타낼 수 있다.

Y은 손상에너지 해방률(Damage energy release rate)이며 r와 s는 손상의 진전과 관련된 재료상수이다. q와 p는 앞서 정의한대로 von-Mises 등가응력과 정수압응력을 각각 나타낸다.

본 연구에서는 탄-소성 손상모델의 수치적 구현을 위해 Elastic predictor와 return mapping을 활용한 implicit기법을 채택하였다[13]. 아래는 유한요소 정식화과정의 주요 단계를 나타낸다.

Step 1: 변형률과 시도응력(Trial stress)을 아래와 같이 나타낸다. 초기에는 순수탄성영역으로 손상변수 D와 내부변수 R의 성장은 발생하지 않는다고 가정한다.

D_n와 R_n은 각각 손상변수 D와 R의 증분형태로 n번째 항을 나타낸다.

Step 2: von-Mises 등가응력 q와 정수압응력 p을 계산하고 유효등가응력 q~와 유효정수압응력 p~을 아래와 같이 정의한다.

Step 3: 항복함수 값을 계산하여 항복조건을 확인한다.

만약 Φ^trial≤ 0을 만족한다면 응력상태는 탄성영역에 해당하므로 σ_n+1 = σ^trial이다. 다른 변수들도 (•)_n+1 = (•)^trial로 갱신되며 현재의 시간증분에 대한 수치계산을 종료한다. 반대로 Φ^trial> 0이라면 응력상태는 소성영역에 해당하므로 Step 4를 수행하게 된다.

Step 4: Return mapping을 통해 소성영역을 고려한 수정된 (•)_n+1의 계산과정이 수행된다.

Newton-raphson법을 이용하여 식 (10)의 세 번째와 다섯 번째 식을 만족하는 ∆_γ값을 얻는다.

Step 5: 계산된 ∆_γ을 바탕으로 Step 4의 변수들을 갱신한다.

Step 6: 현재 시간증분에 대한 수치계산을 종료한다. 새로운 시간증분에 대한 수치계산을 위해 위 과정이 반복적으로 수행된다.

탑재된 UMAT에 대한 검증을 위해 재료단위 인장시험을 시뮬레이션 하였다. 먼저 실제 인장시험과 같은 경계조건을 적용하여 한쪽 끝은 고정시켜 움직임을 구속하였고 나머지 끝단은 변위제어를 통해 움직이도록 하였다. 또한 계산상의 효율성을 위해 인장시험편의 1/2 모델을 활용하였으며 이에 따른 대칭조건을 적용하였다. 사용된 요소는 3차원 8절점 감차적분요소(C3D8R)로 2148개의 요소 수에 3081의 절점 수를 가진다. 아래의 Figure 4은 유한요소 모델과 적용된 경계조건을 나타내었다.

Figure 4: 
Finite element model of tensile specimen for ABAQUS UMAT

선박재료상수 r와 s의 값을 결정하는 것은 손상역학 관점에서 매우 중요한 요소이며 논쟁을 초래할 수 있는 요소이다. 대부분의 값은 실험적으로 구해지며 연성재료의 경우 흔히 s = 1이 사용되고 r은 실험결과와의 비교를 통해 적절한 값으로 사용된다. 그러나 일부 연성재료에서는 s = 1 일 경우 실험결과와 일치하도록 거동을 표현하는 것이 불가능할 수 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해 수정된 손상 포텐셜함수를 제안한 연구가 수행되기도 하였다. 그러나 기존에 작성된 유한요소 정식화과정을 대신하여 새로운 포텐셜함수에 맞게 정식화과정을 수정해야하므로 상당히 비효율적이다. 따라서 해당 재료의 거동만 확실히 표현할 수 있다면 s = 1 이외에 적절한 s 값을 사용하기도 한다[14][15].

Figure 5은 재료상수에 따라 달라지는 인장시험 시뮬레이션 결과를 하중-변위 그래프로 나타낸 것이다. r과 s의 경우 전체적인 그래프의 경향에 영향을 미친다. 먼저 r의 경우 값이 증가하면서 하중-변위의 그래프의 형태는 유사하지만 미세한 하중의 증가와 변위증가를 확인할 수 있었다. 또한 r이 증가하면서 파단까지의 변위가 증가하여 이를 통해 변위 조정이 가능함을 확인하였다. 반면 s에 따라 재료의 거동이 크게 변화하였는데 특히 재료의 파단 근처에서 큰 효과를 보였다. s값이 감소할수록 급격한 하중저하를 보였다. 따라서 r와 s의 값을 적절히 조절하여 실험결과와 일치하는 시뮬레이션의 결과를 획득할 수 있을 것으로 판단하였다. 고망간강의 경우 상대적으로 r와 s 값이 높은 값으로 사용되어야만 이를 표현할 수 있었다.

Figure 5: 
Graph of Load-displacement for FEA result according to damage parameter : r,s

그러나 r이 증가할수록 손상변수 D의 진전을 늦추지만 일단 성장하기 시작하면 급격하게 증가하게 된다. 이 때문에 0 ≤ D≤ 1로 정의된 손상 값이 수치계산 과정에서 D > 1 의 영역의 값을 가지면서 수렴성이 크게 떨어짐을 확인하였다.

앞서 손상의 진전과 관련된 재료상수인 r와 s이 재료의 거동에 미치는 영향을 확인하였다. 또한 유한요소해석의 결과가 고망간강의 거동을 효과적으로 표현할 수 있도록 r와 s의 값을 정하는 과정에서 문제점이 확인되었다. 따라서 손상의 진전을 늦추는 보정계수 k를 도입하여 수렴성을 높이도록 하였다. 또한 De Souza [6]에 의해 제안된 재료의 건전성을 나타내는 ω을 통해 구성방정식의 해를 구하는 과정을 하나의 비선형 방정식으로 간소화하는 과정을 활용하였다. 해당 모델은 알고리즘의 수렴성과 계산 효율을 크게 향상시킨다고 보고된 바 있다[16]. 이를 반영한 손상의 진전에 관한 지배방정식은 아래와 같다.

여기서 k는 0 ≤ k ≤ 1의 값으로 k = 1일 때 일반적인 Lemaitre 모델과 같다. 앞서 언급한 ω은 식 (10)을 치환하여 아래와 같이 표현할 수 있다.

위의 식 (12)을 Newton-raphson법을 이용하여 이를 만족하는 Δ_γ값을 얻는다. 수치적 근사해를 얻기 위해 newton-raphson법을 적용할 때 초기 Δ_γ의 값을 0으로 정의하는 것이 일반적이지만 수렴성을 향상시키기 위해 Δ_γ⁽⁰⁾은 아래와 같이 정의된다.

Table 2은 인장시험 결과로부터 도출된 제안된 모델의 재료상수와 경화함수를 나타낸다. 상온에 비해 110K의 실험결과는 강도가 증가하고 연신율이 줄어듦으로 이를 반영하여 상온과 다른 항복강도, 재료상수가 적용되었다. 하지만 제시된 재료상수와 경화함수의 상수들은 고망간강의 비선형 거동을 표현할 수 있는 유일한 값이 아니므로 인장거동뿐만 아니라 압축, 전단, 비틀림 등의 다양한 실험을 통한 분석을 거친 후에야 비로소 유일한 변수 집합의 도출이 가능할 것이다.

Figure 6은 상온 인장시험 시뮬레이션을 통해 획득한 수정된 Lemaitre 모델과 손상이 고려되지 않은 von-Mises의 모델의 결과를 실험결과와 비교하여 하중-변위 그래프로 나타낸 것이다. von-Mises 모델은 변위가 증가함에 따라 하중이 증가하는 형태를 보였으나 수정된 모델은 실험결과와 유사한 거동을 보이며 효과적으로 인장시험을 모사하였다. 또한 기존의 모델이 r이 증가하면서 초기에는 손상이 거의 발생하지 않다가 파단부에서 급격하게 손상이 증가하기 때문에 하중이 급격하게 떨어지고 수렴성이 좋지 못하였으나 수정모델에서는 k를 통해 손상의 진전을 지연시키면서 수렴성도 좋아지고 거동을 더욱 잘 표현할 수 있었다. Figure 7은 이에 통해 획득한 손상변수의 진전 양상을 나타낸다. 소성영역 초기까지는 거의 증가하지 않다가 최대 인장응력 이후부터 증가하기 시작하여 파단에 이른다.

Figure 6: 
Representative result of experiment and simulation applied different damage model

Figure 7: 
Growth of Damage variable D at each temperature : 293K, 110K

손상의 진전은 삼축응력비(Stress triaxiality)와 밀접한 관련이 있는데 이는 정수압응력과 von-Mises 등가응력의 비로 표현된다. 인장시험의 경우, 최대 인장응력 전까지는 단축응력이 지배적이지만 네킹(Necking)에 의해 단면적이 줄어들면서 다축응력이 발생하게 되고 삼축응력비가 증가하게 된다. 이는 손상의 진전을 유발하게 되고 결과적으로 재료를 파단에 이르게 한다[17].

Figure 8은 인장하중이 지속되는 동안의 손상변수의 변화양상 및 삼축응력비 값을 나타낸다. 초기 균일한 단축응력 상태에서는 손상변수가 시험편의 중앙과 가장자리에서 일정함을 알 수 있다. 그러나 네킹현상이 발생하고 다축응력상태로 변화하면서 손상변수의 최댓값이 내부로 점점 옮겨가는 것을 확인하였다. 이와 함께 삼축응력비의 값 또한 증가하였다. 따라서 해당 재료의 파단은 시험편의 중앙평행부 내의 가장 안쪽부터 파단이 진행되며 이후 바깥쪽 가장자리로 진전됨을 예측할 수 있었다.

Figure 8: 
Contour of damage variable, D and graph of strain-stress triaxiality during tensile loading

앞서 구멍(hole)은 가장 일반적인 노치형태로 엔지니어링 분야에서 다양한 목적으로 적용되고 있다. 그러나 구멍노치의 효과로 재료는 본래의 특성과는 다른 거동을 보인다. 따라서 제안된 모델의 유효성을 검증하기 위해 구멍노치를 가지는 인장시험편의 시뮬레이션을 추가적으로 진행하였다. 또한 이를 검증하기 위해 중앙평행부에 지름 8mm의 구멍노치를 가지는 시험편에 대한 상온/극저온에서의 인장시험을 수행하여 시뮬레이션과 비교하였다. 구멍노치를 가지는 인장시험 모델 역시 기본 인장시험과 마찬가지로 1/2모델을 활용하였고 경계조건 또한 동일하다. 사용된 요소는 3차원 8절점 감차적분요소(C3D8R)로 4432개의 요소와 5823개의 절점을 가진다.

아래의 Figure 9은 제안된 모델을 활용한 상온/극저온, 기본인장시험/노치시험에 대한 시뮬레이션 결과와 실험결과를 비교하여 하중-변위 그래프로 나타낸 것이다. 극저온 노치시뮬레이션에 사용된 재료상수는 기본 인장시험 시뮬레이션과 동일한 값을 사용하였다. 이를 통해 제안된 모델을 적용한 UMAT이 효과적으로 고망간강의 기본/노치 인장거동을 효과적으로 모사함을 확인하였다.

Figure 9: 
Comparison between experiment and simulation for basic/notch tensile test : 293K, 110K