소나돔은 Figure 2와 같이 구상 선수부에 설치된다. 여기서 충, 배수 밸브가 개방되어 있을 경우 밸브 외부 및 내부의 유체는 서로 연결되어 수압 레벨 배관(Water level pipe)의 높이 조절을 통해 자동으로 정적 평형을 이루기 때문에 소나돔 윈도우에는 수압이 발생하지 않으며 모든 수압은 소나돔 내부의 선체부에서 받게 된다. 하지만 밸브를 닫을 경우 소나돔 내부는 Figure 2에서와 같이 소나돔 내부의 수위(“A”m)에 대한 수압이 걸리지만 소나돔 외부의 경우 수면에서부터 소나돔까지의 수위(“H”m)에 대한 수압이 발생되므로 소나돔 윈도우에는 내, 외부 수위차이 만큼의 수압이 발생되게 된다. 여기서 소나돔의 높이를 "h"라고 할 경우 소나돔 윈도우의 하부와 상부는 이 높이만큼의 압력 구배를 가지게 되지만 내외부의 압력 차이는 식 (1)과 같이 해수면과 소나돔 탱크 내의 수면과의 차이만큼의 수압으로 일정하게 걸리게 된다.

Figure 2: 
Sonar dome structure

여기서 P는 수압, H는 수면에서 소나돔 윈도우 상부까지의 거리, A는 해수레벨 배관내의 해수면에서 소나돔 윈도우 상부까지의 거리이다.

이동하는 유체에 잠겨있는 물체, 또는 정지된 유체에 물체가 움직일 경우 유동방향으로는 항력(drag force)이 발생하며 익형 단면과 같이 단면이 비대칭일 경우 속도차이로 발생한 압력 차이에 의한 양력(lift force)이 발생한다.

최대속도로 선박이 항해한다고 가정할 경우소나돔이 위치해 있는 선수부의 항력은 식 (2)와 같이 나타낼 수 있다.

여기서 D는 항력, p는 표면압력, τ_ω는 유동에 의해 발생한 표면 전단응력, θ는 회전방향에 대한 항력을 받는 면의 각도, A는 항력을 받는 면의 면적이다.

또한 항력은 항력계수(drag coefficient)를 이용하여 식 (3)과 같이 나타낼 수 있으며 항력계수는 식 (4)와 같다. 식 (4)에서 항력계수는 압력계수와 표면 마찰계수를 가지고 표현할 수 있으며 속도가 빠를 경우 점성에 의한 효과를 무시할 수 있는 무점성 유동(inviscid flow)으로 가정할 수 있으므로 식 (4)에서 표면마찰계수 C_f는 무시할 수 있다.

여기서 C_D는 항력계수, V는 유체의 속도, ρ는 유체의 밀도, S는 유체력을 받는 면의 면적, C_p는 압력계수, C_f는 표면마찰계수이다.

함정의 소나돔은 일반적으로 구상 선수(bulbous bow)부에 설치되므로 Figure 3과 같이 소나돔에 작용하는 항력은 해수와 수직으로 부딪치는 중심부에서 최대가 되며 구상의 끝부분에서는 유체의 점성을 무시할 경우 항력은 거의 없다고 볼 수 있다.

Figure 3: 
Schematic diagram of the drag force on the bulbous bow

소나돔의 해수 밸브가 열려 있을 경우 항해 중 내부 압력은 Bernoulli 식으로부터 식 (5)와 같이 나타낼 수 있으며 배관의 마찰손실 및 밸브 손실팩터, 입출구 손실팩터 등으로 인해 압력강하가 발생하게 된다

여기서 p₁, p₂는 소나돔 외, 내부 압력, z₁, z₂는 소나돔 외, 내부 수두, V는 배관에서 유입되는 해수 속도, ∆p는 압력강하, f는 마찰 계수(friction fac-tor), D_h는 배관직경, L은 배관길이, K_inlet, K_bend, K_valve, K_outlet은 입구, 벤딩부, 밸브 및 출구의 손실계수이다

소나돔 제작사의 유동해석 결과로부터 밸브 개방 상태에서 소나돔 윈도우 중심의 정체점(stagnation point)에서 항력에 의해 걸리는 압력은 약 204kN/m2이며 내부압력은 약 68kN/m2 임을 알 수 있었다. 여기서 내,외부 압력은 일반적인 값이 아니며 본 연구에서 다루는 특정 함정의 해석값이다. 또한 소나돔 윈도우 해수 밸브를 잠글 경우 소나돔 윈도우의 내부 압력은 소나돔 윈도우에 채워져 있는 해수에 의한 수압이며, 외부 압력은 해수 유체흐름에 의한 항력(204kN/m2~0kN/m2) 및 수면으로부터 소나돔 윈도우까지의 수압이 걸리게 된다.

슬래밍은 해상 상태가 매우 나쁜 상태에서 함이 항해할 때 입사파도와 선체간의 큰 상대운동으로 인해 선체가 수면 밖으로 나왔다가 재입수하는 과정에서 발생하는 심각한 충격 현상을 말한다. 이러한 슬래밍은 다음의 4단계 과정으로 구성된다.

(Step 1) 수면 위로 선체 앞부분이 빠져나옴

(Step 2) 선체 앞부분이 수면으로 들어가면서 해수면과 충돌발생(BV 기준(6) :210 kN/m2, 30도 각도도 가압)

(Step 3) 선체부가 물속으로 가속하며 진입(내부 물의 충격 가속력 = 소나돔 내부압력 × Dynamic Factor)

(Step 4) 선체부가 물속으로 입수하면서 수압 발생

Step 1의 경우 소나돔 윈도우의 압력은 소나돔 내부 해수의 가속력에 의한 힘으로 일반적으로 크지 않기 때문에 무시한다. Step 2의 경우 BV 1040(6)에 따라 210kN/m2의 압력이 소나돔 윈도우 하부에 수면의 수직선에서 30도 각도로 작용한다고 가정하고 있다. 슬래밍 발생 시 소나돔 윈도우에 작용하는 압력은 내부압력이 내부에 채워져 있는 해수의 양에 따라 달라지므로 슬래밍 발생 시 충수 밸브 개폐에 따라 발생하는 수두 차이만큼 차이나게 된다. Step 3에 대해 동적계수(dynamic factor)는 소나돔 제작사에서 제시한 2.65를 사용하였다. 여기서 해수 충,배수밸브의 개폐에 따라 소나돔 내부 해수의 양은 크게 차이나지 않으므로 이로 인한 차이는 거의 없다고 가정하였다. Step 4 시에는 소나돔 해수 밸브가 개방되어 있을 경우 소나돔 내외부의 수압이 같기 때문에 소나돔 윈도우에는 수압이 걸리지 않으므로 이때 소나돔 윈도우에 걸리는 힘은 유체의 저항력에 따른 유체력과 이에 따른 내부압력이 발생한다. 하지만 밸브를 잠근 상태일 경우 유체의 저항력에 따른 유체력에 추가로 수면에서 소나돔 윈도우까지의 수두가 식 (6)과 같이 소나돔 윈도우에 걸리게 되며 슬래밍 발생 시 동적 효과를 고려하여 수압은 식 (6)의 수두 대비 1.6배 추가로 고려하도록 제시하고 있다[6].

여기서 h_Τ는 항해 중 수두(m), L은 선체 길이이다.

따라서 밸브 잠금 시 소나돔 윈도우에 걸리는 수압은 해상상태가 매우 나쁠 경우 슬래밍 발생 등으로 인해 흘수가 급격히 변화하면서 무시하지 못할 수준의 수압으로 인한 응력이 소나돔 윈도우에 발생할 수 있다.

소나돔 윈도우의 정적해석 수행을 위해 유한요소 모델을 Figure 4와 같이 MSC. Patran을 이용하여 모델링하였다. Figure 4에서 소나돔 윈도우의 선체 체결부는 모두 완전 구속조건으로 처리하였다. 소나돔 윈도우는 GRP 플랜지부, GRP 및 고무 윈도우부로 구성되는데 GRP 플랜지부의 경우 솔리드 사면체 요소를 사용하여 모델링하였으며 GRP 윈도우부는 사각형 셀 요소로, 고무 윈도우부는 GRP 윈도우부 요소에 "Mesh on Mesh" 기능을 이용하여 모델링하였다. 유한요소 수행을 위한 재료 물성은 Table 1과 같다.

Figure 4: 
FEM model of the sonar dome window

항해 중 소나돔에 걸리는 응력에 대해 해수 유입 밸브 상태에 따라 해석을 수행한 결과 해수밸브 개폐 여부에 따라 운항 중 응력은 밸브 잠금 시 약 37% 상승함을 알 수 있었으며 슬래밍 조건인 Case 3-Step 2, 4 상태에서 밸브 개폐에 따라 응력값이 Step 2에서 27% 정도, Step 4에서 86% 정도 차이남을 확인할 수 있었다. 하지만 응력 수준은 인장강도에 비해 충분히 작음을 알 수 있었다.

소나돔 윈도우에 작용하는 변동응력의 크기는 평균응력의 30%로 가정하고 해석 결과로부터 Soderberg 선도를 그려보면 Figure 9와 같다. 여기서 변동응력은 일반 항해 중 측정을 통해 경험적으로 산출한 값이다. Figure 9로부터 해석 시 고려한 Case 1, Case, 2 및 Case 3-Step 4의 3가지 경우에 대해 모두 충분히 안전한 영역에 있음을 알 수 있으며 최대속도 운항 시 2.9~6.5의 안전율을 가짐을 알 수 있었다. 여기서 안전율은 식 (6)을 통해 계산하였다.

Figure 9: 
Soderberg plot for case 1~case 3

여기서 σ_a는 변동응력, σ_m는 평균응력, S_F는 피로한도(10⁶ 사이클 응력=0.3 S_U), S_Y는 항복강도, S_U는 인장강도(=190MPa)이다

또한 슬래밍 충격 상태인 Case 3-Step 2 조건에서도 밸브 개폐에 따라 안전율이 각각 3.2 및 3.8 정도로 안정성에는 큰 문제가 없음을 파악할 수 있었으며 안전율은 인장강도와 최대응력간의 비로 계산하였다. 해석 결과로부터 GRP의 S-N 곡선을 Figure 10과 같이 정의하고 해석의 3가지 Case에 대해 수명을 계산해보았다.

Figure 10: 
S-N curve considering mean stress for case 1~case 3

여기서 10³ 및 10⁶ 사이클에 대한 응력(σ_10³, σ_10⁶)은 식 (7)~(8)과 같다.

IACS Recommendation 34[7]에서는 북대서양에서 발생하는 파도에 대해 100,000회의 계측을 통해 해상상태에 대한 확률적 모델을 제시하였다. 여기서 주기 8.5초의 파도가 가장 많이 계측되었다. 실제로 Figure 11과 같이 항해 중 소나돔 윈도우의 응력 계측 시 변동응력의 주기는 약 5~10초정도임을 알 수 있다. 소나돔에 발생하는 변동 응력은 파도의 주기에 의존한다고 가정하고 이 주기를 IACS의 조사결과를 바탕으로 가장 확률이 높은 8.5초로 가정하여 수명을 계산하면 모든 경우가 Table 4와 같이 무한 수명을 가짐을 예측할 수 있다. 여기서 수명은 식 (9)~(10)의 Palmgren-Miner의 선형 손상 누적법(linear damage summation law)에 의해 계산 하였다.

Figure 11: 
Von Mises stress of the sonar dome at a typical position at sailing condition

여기서 D_T,PCL(n)는 속도 "n"에서 “t”초 동안 운항 시 계산된 데미지(total Damage), N_i 는 응력 σ_i에 대한 실제 카운팅 된 반복 횟수, N_fi 은 응력 σ_i에 대한 피로 한도이다.

해석 결과로부터 해수 밸브 잠금 상태에서 운항을 하더라도 GRP 재료의 인장강도를 190MPa임을 고려해 볼 때 최대속도 및 슬래밍 조건에서 충분히 낮은 응력으로 인해 파손의 우려가 없으나 슬래밍 발생 시 수중 부유물에 의한 충격 등이 발생 할 경우 밸브 잠금 시 평균응력 증가로 인해 밸브 개방 시 대비 더 불안정한 조건이 될 수 있음을 파악할 수 있었다.

그리고 좌굴관점에서 보았을 때 슬래밍 step 4 조건에서는 밸브 잠금 시 소나돔에 작용하는 수압이 좌굴 하한치를 초과함으로 이로 인한 파손 가능성이 존재함을 파악할 수 있었다.