이 절에서는 다음과 같은 시간 지연을 갖는 2차 시스템을 고려한다.

여기서 a,b,c∈R , τ∈R⁺이다. 여기서 R은 실수, R⁺는 양의 실수를 뜻한다. 식 (1)의 특성방정식은 시간지연 τ가 지수 항으로 나타나 다음과 같은 준 다항식(quasi-polynomial)으로 표현된다.

여기서 s=α+jβ, α,β∈R이다. 준 다항식 (2)의 형태는 간단하지만, 식에 포함된 초월 항이 복소수 공간에서 무한개의 근을 갖게 한다.

다음과 같이 함수 f(s),g(s)를 정의한다.

그러면 두 함수의 차는 특성방정식 (2)와 같다.

따라서 두 함수 f(s),g(s)의 교점(intersection points)은 특성방정식 (2)의 해와 동일하다.

Lambert W 함수 W(z) 는 ye^y=z, z∈C 의 역함수로 정의되며 초월함수 특성에 의해 다음과 같이 무수히 많은 가지(branch)를 갖는다[16].

여기서 k=0 인 W₀(z)를 주가지(principal branch) 라 하고, 주가지는 스칼라 지연 미분 방정식에서 해의 안정성을 판단하는 주요 지표가 된다.

보조정리 1. 식 (3)에서 c>0이면 f(s)는 순볼록(strictly convex) 함수이다.

증명: 먼저 a>0일 경우를 고려하자. 식 (3)에서 a>0 이고 c>0 이면 f(∞)=∞이다. 그리고 lims→-∞⁡f˙s=-∞ 이므로 f(-∞)=∞이다. f(s)의 극값은 일계 도함수 식 (7)을 0 으로 놓고 다음과 같이 구한다.

식 (8)의 양변에 τ2eaτ/2를 곱하면 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

Lambert W 함수를 이용하면 식 (9)의 해는 다음과 같이 구해진다. 본 논문에서는 이 해를 s_m이라 간략히 표기한다.

식 (10)으로 구해진 s_m 근방에서 s_δ=s_m+δ, δ∈R, 와 같이 정의한 후 이 변수를 일계 도함수 식 (7)에 대입하면 다음과 같다.

식 (11)에서 식 (7)을 빼면

와 같이 두 지점 사이의 기울기의 차를 구할 수 있다. 여기서 δ>0이면, 즉 극값 s_m의 오른쪽에서의 기울기는 양의 값을 갖고, δ<0이면 s_m의 왼쪽에서는 기울기가 음의 값이다. 따라서 s_m이 전역 최소값 (global minimum) 이고 s_m을 기준으로 f(s)는 양 방향에서 순증가(strictly increasing)한다. 그리고 f(s)의 2계 도함수는 f¨s=2+τ2ce-τs 이므로 모든 s에 대해서 양의 값을 가지므로 f(s)는 a>0,c>0일 때 순볼록 함수이다. 다음은 a<0일 경우를 고려한다. 식 (7)에서 f˙∞=∞ 이므로 f(∞)=∞이다. 따라서 f(s)는 a<0,c>0 일 때 순볼록 함수이다.

식 (3)에서 f˙0=a-cτ 이므로 s=0에서의 f(s) 기울기는 파라미터 a,c,τ에 의해서 결정된다. a>0,c>0 일 때 s=0에서 기울기가 양이면 보조정리 1에 의해서 f(s)는 순블록 함수이므로, 식 (10)으로 표현된 f(s)의 극값은 음(negative)이며, 기울기가 음이면 극값은 양(positive)이다.

정리 1. c>0일 때 f(s_m)>-b 이면 특성방정식 (2)의 모든 해는 진동(oscialltion)한다.

증명: 보조정리 1에 의해서 c>0이면 f(s)는 순블록 함수이고 s=s_m에서 전역 최소값이 존재하므로 f(s_m)>-b 이면 식 (3)은 식 (4) 위에만 존재하여 두 함수는 교차하지 않아 특성방정식 (2)는 실근을 갖지 않는다.

정리 2. c>0일 때 f(s_m)≤-b 이면 특성방정식 (2)는 최대 3개의 실근을 갖는다.

증명: f(s_m)=-b이면 식 (3)의 최소값이 식 (4)와 접하므로 실근이 존재한다. Polya-Szego 정리[11][17]에 따르면 특성방정식 (2)의 최대 실근 개수는 3을 넘지 않으므로 두 함수가 접할때 근의 대수 중복도 (algebraic multiplicity)는 3 까지 가능하다. f(s_m)<-b이면 식 (3)의 최소값이 식 (4) 아래에 위치하게 되고, 보조정리 1에 따라서 식 (3)이 순블록 함수이므로 식 (3)과 식 (4)는 두 점에서 교차하여 특성방정식은 2개의 실근을 갖는다.

정리 3. 다음 조건을 만족하면 특성방정식 (2)는 음의 실근 2개를 갖는다.

• (i) c>0,a>cτ
• (ii) f(s_m)<-b
• (iii) b+c>0

증명: 정리 2에 따르면 c>0이고 f(s_m)<-b 일 때 특성방정식 (2)는 실근 2 개를 갖는다. 조건 (i)의 a>cτ 이면 식 (3) 은 s=0 에서 기울기가 양수이므로 식 (3)의 최소값은 s=0인 축의 왼쪽에 위치한다. b+c>0 일 때, 즉, -b<c 이면 c값 아래에서만 두 함수 식 (3)과 식 (4)의 교점이 존재하고, f(s)가 순블록 함수이므로 두 교점은 음수이다.

정리 4. 다음 조건을 만족하면 특성방정식 (2)는 양의 실근 2개를 갖는다.

• (i) c>0,a<cτ
• (ii) f(s_m)<-b
• (iii) b+c>0

증명: 조건 (i)에서 a<cτ이면 식 (3)은 s=0 에서 기울기가 음수이므로 식 (3)의 최소값은 s=0인 축의 오른쪽에 위치한다. 나머지 과정은 정리 3과 동일하다.

정리 5. 다음 조건을 만족하면 특성방정식 (2)는 음의 근 s_m을 갖는다.

• (i) c>0,a>cτ
• (ii) f(s_m)=-b
• (iii) b+c>0

증명: f(s_m)=-b 이면 s=s_m에서 f(s)와 g(s)가 접하므로 특성방정식은 s=s_m인 근을 갖으며, 이 근은 Polya-Szego 경계조건에 따라서 최대 3의 대수 중복도를 갖는다. 나머지는 정리 3의 증명 과정과 동일하다.

다음과 같이 제어입력이 있는 시간지연 2차 시스템을 고려해 보자.

여기서 a,b∈R, c∈R⁺, τ∈R⁺이고 u(t)는 제어입력이다.

시스템 (13)을 점근적으로 안정화시킬 제어 입력을 다음과 같이 상태 궤환으로 구성한다.

제어 입력 (14)를 식 (13)에 대입한 후 특성방정식을 구하면 다음과 같다.

식 (15)를 2.1 절에서와 같이 함수 두 개 f₁(s),g₁(s)를 다음과 정의한다.

특성방정식의 근이 복소평면 좌측에만 존재해야 전체 시스템이 안정하므로, 정리 3과 위의 두 함수를 이용하여 이득 K를 다음과 같이 구한다.

• step 1. c>0,a-cτ>0 이 만족되면, 식 (10)으로 부터 s_m을 구한다.
• step 2. step 1에서 구한 s_m으로 식 (16)에 정의된 함수 값 f1sm=sm2+asm+ce-τsm 을 구하고, 정리 3-(ii), (iii) 으로부터 부등식 f₁(s_m)<K-b<c 을 만족시키는 K을 선정한다.

위의 방법을 다음과 같이 정리할 수 있다.

정리 6. 시간지연 시스템 (13)에서 c>0,a>cτ 이 성립하면,

를 만족하는 K가 존재해서 시스템을 점근적으로 안정화 시키는 음의 실근 두 개를 갖게 한다.

증명: 보조정리 1과 정리 3-(i)에 의해서 c>0,a>cτ 이면 s_m<0 이고, 부등식 식 (18)은 정리 3-(ii),(iii) 을 만족하므로 식 (15)는 음의 실근 2개를 가지며, 최우측근은 (s_m,0)사이에 속하고 두 번째 우측근은 (2s_m,s_m) 구간 내에 위치한다. 그리고 정리 3-(ii), (iii)에 의해서 부등식 식 (18)에서 상한 c+b 는 하한 f₁(s_m)+b 보다 항상 크므로 K는 항상 존재한다

참고 1. 정리 6에서 K를 부등식 식 (18) 구간의 중간 값, 즉 K=(f₁(s_m)+c+2b)/2 로 해석적으로 선정할 수 있다.

정리 7. 시간지연 시스템 (13)에서 c>0,a>cτ 이 성립하면, K=f(s_m)+b 은 시스템 (13)을 점근적으로 안정화 시킨다.

증명: 보조정리 1과 정리 5에 따라서, 식 (15)에서 b-K=-f₁(s_m)이면 시간지연 시스템 (13)은 s=s_m<0에서 실근을 갖으며 이 실근은 시스템을 점근적으로 안정화 시킨다.

참고 2. 정리 7에서 극값과 K는 시스템 파라미터에 따라 정해진다. 주어진 파라미터 값을 변경하여 원하는 극배치를 하기 위해서는 식 (10)에서 Lambert W 함수의 역함수를 이용해서 구해야 하나 이는 쉽지 않다.

정리 8. 시간 지연이 포함된 제어 입력이 있는 식 (19)와 같은 2차 시스템을 고려해보자.

여기서 a∈R⁺,b∈R 이다. 조건(i), (ii)를 만족하는 제어 입력 u(t)=K₁x(t)+K₂x(t-τ)은 시스템 (19)를 점근적으로 안정시킨다.

• (i) -α/τ<K₂<0
• (ii) f₂(s_n)<K₁-b<-K_d

여기서 τ>0, s_n=1/τW(-K₂τ/2e^ατ/2)-α/2이고 f2sn=sn2+asn+K2e-τsn이다.

증명: 정리 5에 따라서, 식 (19)가 음의 실근을 갖기 위해서는 K₂<0이고 K₂>-a/τ를 만족해야 한다. 또한 a>0,τ>0이므로 조건 (i)의 부등식에서 상한 값은 하한값 보다 크므로 부등식을 만족시키는 K₂는 항상 존재한다. 조건 (i)에서 구해진 K₂를 이용해서 정리 5의 (ii) 와 (iii)을 이용하면 조건 (ii) 가 쉽게 구해진다. 따라서 조건 (i), (ii)를 만족하면 시스템 (19)는 음의 실근 2 개를 가지며, 시스템은 점근적으로 안정하다.

참고 3. 정리 8에서 K₂와 K₁는 각각 구간의 중간값 K₂=-a/(2τ), K₁=(f₂(s_n)-K₂+2b)/2로 선정할 수 있다.