유클리드 공간에서 두 지점간의 방위를 구하기 위해서는 평면위의 두 지점 좌표가 반드시 필요하다. 즉, 2차원적인 평면에서는 P1:(x1, y1), P2:(x2, y2)의 좌표에 의해 P1에서 P2를 바라보는 각을 구할 수 있다. 이때 북쪽을 기준으로 혹은 다른 임의의 지점을 기준으로 한 P1과 P2의 각도를 구하는 것은 어려운 일이 아니다.

천체를 지구상의 P2 지점으로 구체화하기 위해서는 지위의 개념이 필요하다. 천체와 지구중심을 연결한 직선이 지구표면과 만나는 점을 지위(Geographical Position : GP)라고 부른다. Figure 1과 같이 천정 바로 아래가 관측자의 위치인 것처럼 천체 바로 아래가 지위이다[2]. 지위는 적위(Declination ; Dec.)와 본초시각(Greenwich hour angle ; GHA)과 관련되어 있으며, 위도와 경도에 대응한다. 적위는 적도를 기준으로 남과 북의 접미부호를 가지고 경도는 동서의 접미부호를 가지는 반면, 본초시각은 동서의 구분 없이 0°에서 360°까지의 값을 가진다.

Figure 1: 
Geographical Position

천체를 지나는 천의 자오선 상에서 천의 적도로부터 천체까지의 호를 그 천체의 적위라 하며 지구상의 위도에 대응하는 것이다. 적도 상의 0°에서 남북으로 각각 90°까지 측정하고, 천체가 적도의 북쪽에 있으면 부호 N을, 남쪽에 있으면 부호 S를 붙인다[3].

Figure 2에 적위와 시각의 개념을 함께 도시하였다. 지방시각(Local Hour Angle ; LHA)은 관측자의 천의 자오선으로부터 천체의 시권까지 시각을 말하고, 항성시각(Sidereal Hour Angle ; SHA)은 춘분점(ϒ)의 시권으로부터 천체의 시권까지의 시각을 말한다.

Figure 2: 
Declination and Hour Angle

이상을 토대로, 위도와 경도를 이용하여, 관측자 위치 P1과 지구 위에 천체의 좌표인 지위 P2를 표현하기 위해 지구상 좌표는 GHA와 Dec.로 표시하였다. 여기서 천체는 태양을 이용하였다.

선박이 항해하는데 필요한 방위를 구하기 위해서는 선박의 위치에서 진북을 우선적으로 추출하여야 한다. 진북을 기준으로 선박의 Heading(선수방향)이 가리키는 방위가 바로 그 선박이 진행하는 방위이다.

컴파스는 진북 또는 자북을 일정하게 가리키도록 고안되어 있으며, 그에 따른 신호를 선박의 각 요소에 제공함으로써 현재 선박이 진행하는 방위를 알 수 있게 된다. 마그네틱 컴파스는 자석을 이용해 자침이 지구 자기의 방향을 지시하도록 만든 장치로써, 오차에는 편차와 자차가 있다. 편차는 진북과 자북의 교각으로 지자기로 인하여 발생하고, 자차는 마그네틱 컴파스의 북과 자북과의 교각으로 선체자기로 인하여 발생한다[4].

천문항법을 이용하여 진북을 추출하기 위해서는 항해삼각형에 대한 이해가 필요하다. 관측자의 좌표와 천체의 좌표 사이의 각도를 계산하는데 있어 항해삼각형을 이용할 수 있다. Figure 3은 항해삼각형을 도식화 한 것이다. 항해삼각형의 세 변은 여위도(Colatitude), 극거리(Polar distance) 및 여고도(Coaltitude)라 하고 세 각은 자오선각(Meridian angle), 방위각(Azimuth angle) 및 위치각(Parallactic angle)이다. 항해삼각형의 계산은 구면삼각법의 해법에 의한 것으로, 삼각함수를 이용하게 된다.

Figure 3: 
Navigational Triangle

태양의 방위를 구하기 위해 천측력을 이용할 경우, 우리나라에서는 국립해양조사원에서 발행하는 천측력을 이용하여 1시간 간격으로 표시되어 있는 지위를 구할 수 있다. 태양은 1시간에 15º 의 GHA 변경이 발생하므로 정확한 값의 계산에 신중을 기하여야 한다[5]. Sight Reduction(천측계산표)를 이용하여 선박에서 측정한 태양의 진북 대비 방위를 산출할 수도 있다. 그러나 이 표는 선박의 위치를 도 단위로만 산출할 수 있으므로 선박의 정확한 위치를 기준으로 정확한 방위를 산출하기 위해서는 별도의 계산이 요망된다[6].

Figure 4는 관측자의 실제 진북을 기준으로 b 각도만큼의 Heading으로 선박이 운항하고 있을 때, Heading을 기준으로 a 각도만큼 태양이 관측 되었을 때를 가정하여 도식화한 그림이다.

Figure 4: 
Observation Example

Figure 4에서 보듯이 특정 시간 및 위치에서 천측계산표를 이용하여 구해진 태양의 진북 대비 방위는 각 a + b를 의미한다. 구해진 태양의 방위값을 역으로 적용한다면 태양을 보는 방위에서 진북을 찾아낼 수 있게 된다. 즉, 태양의 방위에서 -(a+b)는 진북(True North)를 가리키게 된다.

천체를 관측하여 진방위를 구하는 천체의 방위각법에는 시진방위각법, 출몰방위각법, 고도방위각법 등이 있다.

Napier’s analogie에 의한 시진방위각법을 이용하여 방위를 추출하는 방법은 수식이 매우 복잡하며 각종 방위각표를 사용해야 하는 어려움이 있다. 본 논문에서는 항해삼각형을 전산화가 가능한 식으로 해석하여 방위를 추출할 수 있는 알고리즘을 제시한다[7]. 항해삼각형을 이용한 수식은 삼각함수의 사인법칙과 코사인법칙을 활용하였다. 방위각표 등을 이용하여 수동을 계산하는 기존의 시진방위각법에 비하여 항해삼각형을 전산화함으로써 신속성과 편리성은 물론 높은 정확도도 갖게 되었다.

Figure 5에서 각 Zn 방위를 구하기 위해서는 경도(Long) 성분의 세밀한 고려가 필요하다. 자오선각(Meridian Angle ; t) 대비, 경도는 시각성분이므로 지방시각인 LHA에 대하여 경도가 E이면 +, W이면 –로 하여 t = GHA ± 경도가 된다. 단, LHA가 360도를 넘으면 t = LHA-360로 계산 하여야 한다. t는, LHA < 180° 이면 t = LHA(W)가 되고, LHA > 180° 이면 t = 360 – LHA(E)로 구할 수 있다.

Figure 5: 
Sunrise at the Ship's Position

방위 Zn을 구하기 위해 요구되는 선박과 태양의 지위간의 거리를 dist라 하고 이를 구하기 위해, 식 (1)과 같이 계산한다

이렇게 구해진 dist를 이용하여 선박에서 바라보는 태양의 방위를 구하면, 식 (2)와 같이 계산할 수 있다.

여기서 주의할 점은, 식 (1)에서 t는 cosine에 대한 인수이다. cosine 의 특성상 –90°에서 90°까지의 값은 양의 값으로 표현되므로 선박의 위치와 지위의 위치간격 dist는 단지 거리만 표시할 뿐, 두 지점간의 전후 비교가 불가하다. 즉, 선박에서 오전에 태양을 관측한 것인지, 오후에 태양을 관측한 것인지 알 수 없고, 두 지점에 대한 스칼라 값이 된다는 것을 알 수 있다.

또한 식 (2)에서 방위 Zn 역시 cosine의 인수이므로 180° 이상의 값을 표현하지 못한다. 즉, 선박을 기준으로 태양이 저물고 있는 오후를 나타낼 경우, 태양은 이미 관측자의 자오선을 앞질러 있고, Zn은 180° 이상의 값으로 표현되어야 한다.

따라서 식 (2)에서 Zn은 t가 270° 보다 클 때, 즉 태양이 관측자를 지나 친 오후에 한하여 식 (3)과 같이 표현하여야 한다.

과거부터 지금까지 태양의 지위를 구하는 방법은 천측력을 이용하는 것이었다. 천측력은 1시간 단위로 GHA와 Dec.가 기록되어 있는데, 항해사는 원하는 시간에 천체의 지위를 알기 위해 천측력에서 해당 시각의 앞 뒤 시각의 지위들을 찾아 현 시각에 대한 보정 과정을 통해 정확히 구할 수 있다. 상기에서 설명하였듯이 선박의 위치 P1에 대한 태양의 P2의 좌표가 정확할수록 방위의 정밀한 계산이 가능하다.

태양은 북회귀선과 남회귀선 사이를 1년을 기준으로 이동한다. 따라서 23.5°에서 –23.5° 총 47°의 변화량을 가지며, 1년에 2회 변화하므로 Dec.의 시간 당 변화량을 계산할 수 있다. 계산하면 47° / (365/2)일 / 24시간 = 38.6″이 되므로 평균 38.6" 정도가 된다. 이는 시간당 1분 미만의 변화량으로 계산에 큰 영향을 미치지 않는다. 이에 비해 지구의 자전주기는 1일이므로, 시간 성분인 태양의 GHA는, 360°/24시간으로 계산한다면 시간당 약 15°의 변화량을 보인다. 태양관측을 통한 방위를 추출하는데 있어서, 태양의 Dec. 성분의 변화보다는 GHA 성분의 변화가 방위의 측정에 미치는 영향이 매우 크다는 것을 의미한다. GHA는 시간에 대한 Factor 이므로 시각의 정밀성도 함께 요구됨을 알 수 있다.

선박의 운항 중에 태양을 관측한 후 천측력을 찾아 태양의 지위를 파악하고, 계산과정을 거쳐 선박의 위치를 기반으로 방위를 산출하기 까지는 많은 시간 소요가 불가피하다. 편리한 전자계산기를 사용하더라도, 선박에서 일련의 계산과정을 진행하는데 있어 시간 지연 및 오차는 필연적으로 발생할 수밖에 없다. 태양관측의 정확성에 영향을 미치는 오차 중에서 Dec. 성분은 1시간의 시간 차이에 대헤서 1-4분 이내의 오차값을 가지나, GHA의 경우 1시간의 시간 차이는 15º에서 많게는 90º 이상의 오차를 발생시키게 되어 매우 치명적이라 할 수 있다.

태양관측 과정에서의 오차에는 첫째, 선박에 장착된 크로노미터 혹은 선박 시계의 GMT 와의 오차, 둘째, 실제 관측시간과 기록된 관측시간 사이의 오차, 셋째, 관측 장비 사용상의 운용자 오차, 넷째, 관측장비의 기계적 오차, 다섯째, 계산상의 오류 등이 있으며, 각각의 오차가 수작업을 통한 계산 과정에서 영향을 미치게 된다. 따라서 태양관측을 통한 정확한 방위의 추출을 위해서는 정확한 GMT 시각의 제공과 정확한 관측장비의 작동, 그리고 무엇보다 시간적인 지체없이 방위를 추출하는 계산기가 함께 존재해야 하는 것이다. 따라서 본 논문에서는 이러한 문제 해결을 위해 임베디드화한 태양관측 장비를 구현하여 이를 측정하였다.

본 논문에서는 시간적인 오차를 최소화하기 위해 태양 관측 시 버튼을 눌러 그 시점에서의 지위를 바로 산출하고, 1초 이내로 방위를 산출하도록 시스템을 구성하였다. 또한 이러한 시간 보정에 따른 오차 발생의 최소화를 위해, 본 논문에서는 IAU(International Astronomy Union : 국제 천문 협회)에서 제공하는 태양의 운동에 관한 방정식을 이용하였다[8].

Figure 6의 GUI는 제안한 알고리즘을 토대로 구성한 S/W를 표시한 것이다. 위도와 경도를 자동 혹은 수동으로 입력 가능하도록 구성하였으며, 특히 시각의 경우 UTC 표준시를 사용할 수 있도록 초단위로 표시하였다. 선박의 Heading과 관측한 태양의 진북 대비 방위를 계산하였으며, GHA와 Dec. 등의 세부적인 연산 값들이 표시될 수 있도록 하였다. 특히 태양의 지위는 국제표준에 따른 계산식을 도입하여 이를 국립해양조사원 발행의 천측력과 비교 분석하여 동일함을 확인하였다.

Figure 6: 
Calculating Software

Figure 6의 S/W는 C# .NET Framework 2.0 환경에서 개발하였고, 임베디드 하드웨어와의 인터페이스는 USB to RS422 컨버터를 통해 통신하였다. 임베디드 시스템은 RS422 통신의 NMEA 신호 출력이 가능하도록 구성하였다.

Figure 7은 개발한 임베디드 시스템의 동작 블록도를 도식화한 것이다.

Figure 7: 
Block Diagram of Embedded Systems

Figure 8은 임베디드 시스템의 하드웨어 모습이며, 이는 기존의 과거 아날로그 방위환과 엔코더 시스템이 접목된 형태인데, 효율적인 소숫점 연산을 위해 Cortex-M4 코어 기반의 STM32F407 마이크로프로세서를 사용하여 168MHz의 클록 속도를 가지도록 하였다.

Figure 8: 
Implementation of Embedded Systems

이러한 임베디드 시스템은 해당 시각의 위도 및 경도를 자동 혹은 수동으로 입력받아 앞서 제시한 알고리즘을 통해 태양의 방위를 계산한다. 임베디드 시스템의 방위환을 통해 선수 대비 태양의 방위각을 엔코더를 통해 구하고 이를 태양방위 값과 비교 연산하여 선박의 Heading 방위를 출력한다.