50여 년 전 일기예보의 이론적 예측을 시도하던 미국의 기상학자 에드워드 로렌츠(E. Lorenz)가 초기상태의 미묘한 차이가 기상모델(weather model)에 예측할 수 없는 큰 변화를 일으키는 현상을 발견하고 이를 이론적으로 정립하면서 훗날 카오스 이론(chaos theory)의 토대가 되었다. “갈매기의 날갯짓 한 번이 날씨를 영원히 변화시키기에 충분하다”고 말한 데서 유래되어 통상적으로 이 현상을 나비효과(butterfly effect)로 설명하고 있다. Lorenz 모델이 소개된 이후 카오스 거동은 비선형 시스템의 해석에 있어서 중요한 주제 중의 하나로 다루어져 왔고, 동적 시스템의 카오스 거동은 일반적으로 초기조건에 민감한 의존성을 갖는 것으로 알려져 있다. 잘 알려진 카오스 시스템으로는 Rössler 시스템[1], Chen 시스템[2], Lü-Chen 시스템[3], Liu 시스템[4] 등이 있으며 이들은 모두 3차원으로 이루어지는 특징을 갖는다.

지난 10년 동안 비선형 시스템의 카오스 거동에 대한 제어는 많은 연구자의 관심과 흥미의 대상이 되어 왔고, 또 카오스 시스템은 통신보안[5], 암호체계[6], 로봇[7], 신경회로망[8] 등 과학, 공학 분야에 널리 응용되어 왔다.

특히 카오스 시스템의 동기화 문제는 Pecora와 Carroll[9]이 처음 제시한 이후 많은 연구자들이 관심을 갖는 분야로 비선형 궤환(nonlinear feedback) 방법[10], 능동 제어(active control) 방법[11][12], 백 스텝핑[13] 방법, 슬라이딩 모드 제어(sliding mode control) 방법[14][15] 등이 있다.

이들 연구 대부분은 주-종(master-slave) 또는 구동-응답(drive-response) 유형을 취하고 있다. 하나의 카오스 시스템이 주 또는 구동 시스템이 되면 다른 하나는 종 또는 응답 시스템이 되는 형태로, 동기화의 최종 목적은 응답 시스템을 제어하기 위해 구동 시스템의 출력을 이용하여 응답 시스템의 상태가 구동 시스템의 상태에 점근적으로 추종하게 하는 것이다.

본 논문에서는 위와 같은 유형을 적용하고, 슬라이딩 모드 제어 방법과 최적화 도구의 하나인 GA(Genetic Algorithm)를 결합한 카오스 시스템의 동기화 문제를 다룬다.

특히, 본 논문에서는 슬라이딩 모드 제어 시 설계자가 선정해야 하는 슬라이딩 평면과 제어기의 이득을 GA로 탐색하는 GA 기반의 슬라이딩 모드 제어 기법을 제안한다. 이때 GA는 주어진 평가함수를 최소화 시키는 관점에서 파라미터를 탐색하게 된다.

제안하는 방법은 Pehlivan 카오스 시스템에 적용하여 컴퓨터 시뮬레이션을 실시하여 그 유효성을 확인한다.

식 (1)로 기술되는 Pehlivan 시스템을 구동 시스템(master/drive system)으로 가정하고, 이를 편의상 벡터 x로만 표시하면 다음과 같다.

한편 식 (3)을 종속시스템(slave or response system)으로 간주한다.

여기서 y=[y₁ y₂ y₃]^T∈R³는 종속시스템의 상태벡터, u=[u₁ u₂ u₃]∈R³는 종속시스템을 구동시스템과 동기화시키기 위해 설계해야 하는 제어입력 신호이다.

동기화 오차 신호를 다음과 같이 정의하면

오차 시스템은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

그러면 카오스 시스템의 동기화는 식 (6)을 만족하는 제어입력 u를 설계하는 문제로 생각할 수 있다.

이때 ∥·∥은 Euclidean norm을 의미한다.

Pehlivan 카오스 시스템의 동기화를 위해 식 (2)를 구동시스템으로 식 (3)을 종속시스템으로 고려한다. 이때 상수 a와 b는 각각 0.5의 값을 갖는다.

동기화 오차인 식 (4)를 이용하면 식 (5)는 다음과 같이 행렬로 나타낼 수 있다.

Figure 3은 슬라이딩 평면과 제어이득이 GA를 통해 탐색되는 과정을 나타낸 것이며, 식 (21)과 식 (22)는 그 결과를 나타낸 것이다. 이때 탐색구간은 –30≤c₁, c₂, c₃, α₁, α₂, α₃≤30, -2.5≤β≤2.5이며, 경험적으로 선정하였다.

제안한 방법의 유효성을 살펴보기 위해 구동시스템과 종속시스템의 초기상태가 각각 x(0)=[0.001 0.001 0]^T과 y(0)=[4 10 5]^T인 상태에서 시뮬레이션을 실시하였다. 비교적 큰 차이를 갖는 서로 다른 초기상태인 경우에도 종속시스템은 구동시스템에 잘 동기화 되는 것을 Figure 4의 오차응답을 통해 확인할 수 있다.

Figure 3:  
The searching results of GA

Figure 4:  
Dynamics of the synchronization errors with the controller activated at t=0[s]

본 논문에서는 Pehlivan 카오스 시스템의 동기화 문제에 대해 다루었다. 동기화의 접근방법으로는 구동시스템 그리고 종속시스템에 제어입력이 포함되는 유형을 사용하였다. 또한, 다양한 제어문제에 잘 정형화되어 있는 슬라이딩 모드 제어 기법에 최적화 알고리즘인 GA를 결합하여 슬라이딩 평명과 제어기 이득을 탐색시키는 방법을 제안하였다.

제안한 방법으로 컴퓨터 시뮬레이션을 실시한 결과 종속시스템은 서로 다른 초기조건 하에서 구동시스템과 잘 동기화 되는 것을 확인하였다.