다음과 같은 시간 지연을 갖는 특이 섭동 시스템을 고려하자.

여기서 Ee=In100ϵIn2,  A=A11A12A21A22,  xt=x1x2이며 x1t∈Rn1, x2t∈Rn2, n=n1+n2는 각각 느린 부 시스템과 빠른 부 시스템을 나타내고, 0<∈≪1 이고, h>0 는 시간지연 상수이다. 그리고 A11∈Rn1×n1,A12∈Rn1×n2,A21∈Rn2×n1,A22∈Rn2×n2 이다.

보조 정리 1.[13] 알맞은 차원을 갖는 행렬 Zi=ZiT i=1,2,3,4,5가 다음 선형 행렬 부등식 (2)를 만족하면

선형 행렬 부등식 (3)이 성립된다.

여기서 Ze=Z1+ϵZ3ϵZ5TϵZ5Z2+ϵZ4 이다.

보조 정리 1과 LKF(Lyapunov-Krasovskii functionals)을 이용해서 식 (1) 의 안정 조건을 구하면 다음과 같다.

정리 1. 대칭 양의 정부호 행렬(Positive Definite Matrix) Q가 존재해서 식 (2) 와 선형 행렬 부등식 (4)를 만족하면 식 (1) 은 점근적으로 안정하다.

증명: 다음과 같이 LKF 을 선정하자.

여기서

이다. Q가 양한정(positive definite) 행렬이고 보조정리 1 에 의해서 EeZe>0 이므로 Vxt>0 이 성립한다. 식(6)을 미분하면 다음과 같다.

아래와 같은 Newton-Leibniz 모델 변환 xt-h=xt-∫t-htẋsds 을 이용하면 식 (9)는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

두 번째 항인 식 (7)을 미분하면 다음과 같다.

V̇2xt=ddt∫t-htxTsQxsds=dtdtxTtQxt-dt-hdtxTt-hQxt-h=xTtQxt-xTt-hQxt-h

마지막 항인 식 (8)을 미분하면 다음과 같다.

V̇3xt=hẋTtEetẋt-∫t-htẋTsEeẋsds=hxTt-hATEe-1Axt-h-∫t-htẋTsEeẋsdθ

식 (10)의 적분 항은 아래 부등식 형태로 유도된다.

-2xTtZeA∫t-htẋsds≤hxTtZeAEe-1ATZeTxt+∫t-htẋTsEeẋsds

식 (5)로 주어진 LKF의 미분은 식 (6) - 식 (8) 항을 미분한 것을 더한 결과와 같으므로 식 (6)의 적분항을 식 (10)으로 대치하면 LKF 의 미분 결과는

V̇xt≤xTtATZext+xTtZeAxt+hxTtZeAEe-1ATZext+xTtQxt+xTt-hhATEe-1A-Qxt-h

로 된다. 여기서 yt=xTt xTt-hT 라 놓으면 V̇xt 의 우변은 다음과 같이 행렬로 표현할 수 있다.

yTt1,100hATEe-1A-Qyt1,1=ATZe+ZeA+hZeAEe-1ATZe+Q

여기서 V̇xt의 우변이 0 보다 작으면 시간 지연을 갖는 특이 섭동 시스템 식 (1)은 점근적으로 안정하다.

정리 1의 선형행렬부등식 문제에서 Z_i, (i = 1,..,5) 와 Q가 대칭행렬이므로 3.5n²개의 변수를 구하면 된다.

다음과 같은 시간지연 특이 섭동 시스템을 고려하자.

여기서 B=B11ϵB2, Ae=A11A121ϵA211ϵA22, ut∈Rm 이다.

작은 파라미터 ϵ이 포함된 시스템 행렬 A_ϵ 는 불량조건(ill-condition)으로서 시스템 해석을 어렵게 하고 있다 따라서 이 불량조건 문제를 회피하기 위해서 식 (12)로 구성된 Chang 변환 행렬을 이용하여 특이 섭동 시스템 식 (11)를 ϵ와 결합된 저차의 상태 방정식과 결합되지 않은 저차화된 상태 방정식으로 완전 분리한다.

식 (12)에서 행렬 L,H 는 식 (11)의 시스템 행렬 A_ϵiji,j = 1,2로 이루어진 비대칭 Riccati 방정식 (13) 및 (14) 의해이다.

식 (13)과 식 (14) 에서 L 과 H 를 구하기 위해서는 오차가 주어진 값 보다 작아질 때 까지 뉴턴 반복법으로 구한다[14]. Chang 변환의 역행렬은 완전 분리된 시스템을 원래의 시스템으로 변환하기 위해 사용되는 것으로 다음과 같이 해석적으로 구할 수 있다.

Chang 변환을 통한 새로운 상태를 다음과 같이 정의하자.

식 (16)을 이용하여 시스템 식 (11)를 Chang 변환하면 다음과 같다[2].

따라서 시스템 식 (11)은 다음과 같이 저차의 느린 시스템 식 (18)과 저차의 빠른 시스템 식 (19)로 완전 분리된다.

식 (18)로 표현된 느린 부시스템에 상태 지연이 있는 제어 입력 식 (20)을 인가하면 느린 상태로만 구성된 시스템 식 (21)을 얻는다.

정리 1과 유사하게 시스템 식 (21)에 대한 점진적 안정도 조건을 Newton-Leibniz 모델 변환을 이용하면 다음과 같이 구할 수 있다.

보조 정리 2. Q=Q^T>0, P=P^T>0, S=S^T>0 인 행렬이 존재해서 선형 행렬 부등식 (22)을 만족하면 시스템 식 (21)은 점진적으로 안정하다.

증명: 다음과 같이 LKF 를 선정하자.

식 (23)을 미분하면 다음과 같다.

V̇1η1=η1Tt-hATPη1t+η1TtPAη1t-h

이다. 여기에 Newton-Leibniz 변환 행렬

η1t-h=η1t-∫t-htη̇1sds

을 이용하면 V̇η1은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

V̇1η1=η1TtAη1TPη1t+η1TtPAη1η1t-2η1TtPAη1∫t-htη̇1sds

여기서

∫t-htη1tη1a-hTPAη1Aη1TSPAη1Aη1TTη1tη1a-hda≥0

를 이용하면

-2η1TtPAη1∫t-htṅ1sds≤hη1TtPAη1SAη1Tη1t+∫t-htη̇1TsSη̇1sds

이다. 식 (24)와 식 (25)의 미분은 각각 다음과 같다.

V̇2η1=η1TtQη1t-η1Tt-hQη1t-hV̇3η1=hη1Tt-hATSAη1t-h-∫t-htẋTsSẋsds

따라서 LKF 의 미분을 더한 결과는 다음과 같다.

V̇1η1+V̇2η1+V̇3η1≤η1TtAη1TPη1t+η1TtPAη1η1t+η1TtQη1t-η1Tt-hQη1t-h+hη1Tt-hATSAη1t-h+hη1TtPAη1SAη1Tη1t

따라서 식 (22)가 성립하면 시간 지연 시스템 식 (21)은 점진적으로 안정하다.

식 (19)로 표현된 빠른 부시스템에 제어입력 식 (26)을 인가하면 빠른 상태로만 구성된 시스템 식 (27)을 구축할 수 있다.

느린 부시스템에서와 같이 빠른 부시스템에서도 다음 보조정리 3 을 만족하면 시스템 식 (27)은 점진적으로 안정하다.

보조 정리 3. Q=Q^T>0, P=P^T>0 인 행렬이 존재해서 선형 행렬 부등식 (28)을 만족하면 시스템 식 (27)은 점진적으로 안정하다.

여기서 A_η2=ϵLA_ϵ12+A_ϵ22+(ϵLB₁+B₂)K₂ 이다.

증명: 여기서는 Lyapunov-Krasovskii 범함수를 다음과 같이 선정한다.

식 (31)에서 S=I 로 놓은 후 보조정리 2의 증명 방법을 적용하면 부등식 (28)을 구할 수 있다.

식 (20), 식 (26), 그리고 식 (16)에 의해서 합성 제어 u(t)는 다음과 같다.

각 부시스템에서 구한 제어 입력과 전체 시스템에 인가할 제어 입력과의 관계는 다음과 같이 정리된다.

보조 정리 4. 보조정리 2 와 3을 만족하면 특이섭동 시스템 식 (11)은 점근적으로 안정하다.

증명: 각 부시스템 식 (18) 및 식 (19) 가 안정하면 Chang 변환 행렬 T가 상수 행렬이면서 비특이행렬(nonsingular matrix) 이므로 x1Ttx2TtT=T-1η1Ttη2tTT 이다. η1Ttη2tT<α, α>0 이면 T-1η1Ttη2tTT≤T-1 η1Ttη2tTT 이므로 x1Ttx2TtT≤ α 이 성립하여 전체 시스템은 안정하다.

시간 지연이 포함된 특이섭동 시스템의 안정조건을 구한 정리 1 의 경우에는 LMI를 풀 때 3.5n²개의 변수를 구해야 하지만 두 개의 부 시스템으로 분리된 접근법에서 보조정리 2 및 3을 이용할 때는 3n²개의 변수만을 구하면 된다.