식 (3b)에서 임의의 전압 c[V]를 계단상으로 인가하고, 속도가 정상상태에 도달한 이후 시간이 무한대로 지나가는 경우를 생각하면 모터의 속도는 다음과 같다.

속도가 정상상태에 도달한 이후 시간이 무한대로 지남에 따라 e^-t/r는 영으로 수렴하므로 식 (4)는 다음과 같이 표현된다.

여기서 인가한 전압 c와 정상상태 때의 출력 속도를 이용하여 정상상태 이득 k를 구할 수 있다.

이제 시정수 τ를 구하기 위해 식 (4)와 식 (5)를 이용하여 다음과 같이 다시 표현한다.

식 (6)을 정리하고, 임의의 시간(t = t₀)에서 속도를 측정하면 다음과 같이 시정수τ를 구할 수 있다.

유전알고리즘(GA)은 1975년 J. H. Holland가 제안한 것으로 “우성생식”과 다윈의 “자연선택”을 알고리즘 형태로 구현한 최적화 탐색기법 중의 하나이다. 잠정적인 해 집단에서 육종(Breeding)과 선택(Selection)을 구현하기 위해 재생산, 교배, 돌연변이와 같은 유전연산자를 사용하여 개체를 개량하고[8], 이들 간에 정보 형성과 교환을 장려하여 집단내의 개체가 해에 가까워지도록 여러 방향으로 탐색을 실행한다.

GA는 사용되는 코딩방법에 따라 크게 이진코딩(Binary coding), 실수코딩(Real number coding), 기호코딩(Symbolic coding)의 3가지로 구분할 수 있고, 전통적으로 염색체를 표현하는데 가장 많이 사용되어온 방법은 이진코딩 표현법이다. 그러나 탐색공간이 크거나, 고정밀도의 해가 필요한 경우, 제약조건이 존재하면 염색체의 길이를 크게 해야 하고 이는 연산부담으로 나타나며, 경우에 따라서는 탐색을 불가능하게 한다[9]-[10]. 따라서 본 연구에서는 이러한 단점을 극복하고 제약조건이 있는 경우에도 적합한 실수코딩 유전알고리즘을 사용한다.

본 연구에서는 직류 전동기의 증폭기 앞에서 인가한 전압 와 출력인 회전속도의 데이터를 가지고 식 ( 2)와 식 (3)에 나타낸 전달함수를 구하기 위해 Figure 3과 같이 시스템과 모델을 병렬로 연결한 모델조정기법(Model adjustment technique)을 사용하기로 한다.

이때 조정모델을 실제 시스템과 일치시켜주기 위한 조정 메커니즘으로는 실수코딩 유전알고리즘을 이용한다.

Figure 3: 
Parameter estimation of a DC motor

이때 사용되는 조정모델은 2차 시스템인 경우 식 (2b), 1차 시스템인 경우 식 (3b)를 사용한다.

이때 GA에 사용하는 목적함수에 따라 탐색 성능에 차이를 보일 수 있으므로 본 논문에서는 식(8)에 나타낸 것과 같이 IAE(Integral of the absolute error), ITAE(Integral of the time-multiplied absolute error), ISE(Integral of the square error)의 3가지 종류의 목적함수를 고려하기로 한다.

여기서 e(t) = ω_p (t) – ω_m (t)이며 ω_p (t)와 ω_m (t)는 각각 실제 실험장치와 조정모델의 회전속도이고, t_f는 최종 적분시간이다.

파라미터 추정을 위해 사용될 실험 데이터는 DC 모터에 0.36[V]의 계단상 전압을 가하고, 모터가 정상상태에 도달한 후 일정시간이 지났을 때까지의 전압과 회전수 신호를 측정하여 사용하였다. 이때 적용된 실험장치의 샘플링시간은 0.02[s]이다.

일반적으로 시스템의 파라미터 추정을 위해서는 특정 주파수의 영향에 지배받지 않도록 다양한 주파수가 결합된 신호를 사용해야하고, 또한 변하는 동작점에 따라 파라미터 추정을 실시해야 하지만 DC 모터의 경우 선형시스템에 매우 가깝고, 특정한 주파수에 의해 큰 영향을 받지 않으며 변하는 회전수에 따라서도 모델이 크게 변하지 않기 때문에 계단입력신호로 파라미터 추정을 실시한다.

이때 측정신호의 잡음을 제거하기 위해서 Butterworth 저역통과 필터를 설계하기 위해 주파수 분석(FFT)을 시행하였으며, Figure 4는 이를 나타낸 것이다.

이를 통해 차단주파수(f_c)는 17Hz로 선정하였고, 3차 Butterworth 저역통과 필터를 설계하였다. Figure 5는 측정된 신호와 필터를 통과한 신호를 나타낸 것이고, 식 (9)는 설계된 Butterworth 저역통과 필터를 나타낸 것이다.

Figure 4: 
FFT analysis

Figure 5: 
Result of Butterworth IIR filter

본 연구에서는 3.1절에서 설명한 방법과 필터링한 데이터를 이용하여 k와 τ를 결정하였으며, 그 값은 τ=0.0563, k=2059.73이었다. Figure 6에서 확인할 수 있듯이 수치적 방법을 통해 얻은 1차모델은 실제 실험 데이터와 대체적으로 잘 일치하고 있으나 실험 데이터와 오차는 약간 존재한다.

Figure 6: 
Result of parameter estimation using numerical method

정량적으로 오차를 비교하기 위해 실험데이터와 수치적 방법을 통해 얻은 1차모델의 IAE를 계산하였으며, 그 값은 1855.664이었다. 이때 IAE= 이고, y_p는 실험데이터, y_p는 1차모델의 출력을 의미한다.

3.2절에서 설명한 GA의 연산자는 산술적 교배와 동적 돌연변이, 엘리트 전략을 이용하였으며 집단의 크기는 80, 재생산계수는 1.8, 교배확률은 0.9, 돌연변이 확률은 0.02가 사용되었다.

이때 파라미터 탐색범위는 식 (2b)와 같은 2차 모델인 경우에는 0 ≤ a₀, a₁, a₂, b₀ ≤ 3, 식 (3b)와 같은 1차모델인 경우에는 0 ≤ k ≤4000, 0 ≤ τ ≤10이며 취득한 데이터를 이용하여 오프라인(Off-line)으로 파라미터를 추정한다.

Table 1은 GA를 이용하여 모터의 파라미터를 추정한 결과를 정리하여 나타낸 것이다.

식 (8)의 3가지 목적함수를 이용하여 1차모델과 2차모델로 구분하여 파라미터를 추정하였으며 예상했던 것과 같이 2차모델인 경우 2차항의 계수는 매우 작은 값이 됨을 확인할 수 있다.

Figure 7은 GA를 통해 추정한 2차모델의 응답과 실제데이터를 나타낸 것이다. 그림에서 확인할 수 있듯이 GA를 이용해 추정한 2차모델은 실제 실험데이터와 잘 일치한다. Table 2는 3가지 종류의 2차모델의 성능을 정량적으로 비교하기 위해 5초간 실험데이터와 2차모델의 IAE를 계산한 것이다.

Figure 7: 
Result of parameter estimation using GA method(2^nd model)

표를 통해 GA를 이용한 방법이 4.2절의 수치적 방법을 이용한 방법보다 더 정확한 파라미터 추정이 이루어지고 있음을 확인할 수 있다.

Figure 8은 GA를 이용해 추정한 1차모델의 응답과 실제데이터를 나타낸 것이다. 역시 1차모델의 성능을 정량적으로 비교하기 위해 5초 동안 실험데이터와 1차모델 사이의 IAE를 계산한 결과를 Table 3에 나타내었다. 그림과 표를 통해서 확인할 수 있듯이 GA를 통해 추정한 1차모델은 실제 실험데이터와 잘 일치하고 있다.

Figure 8: 
Result of parameter estimation using GA method(1^st model)

특히, 4.2절의 수치적방법과 GA를 이용해 추정한 2차모델 보다 더 정확한 파라미터 추정이 이루어짐을 확인할 수 있다. 이는 DC 모터 전달함수의 2차항의 계수 값이 매우 작아 1차모델과 같은 특성을 나타내기 때문으로 사료된다.

마지막으로 회전수가 다양하게 변하는 상황에서 실험결과와 추정모델의 응답을 비교하였다. Table 3에서 가장 작은 IAE 결과를 나타낸 1차모델을 대표적으로 선정하였으며, 이때 DC 모터에 인가된 전압 u = 0.031 + 0.42sin (0.5t) + 0.23sin (1.4t) + 0.15sin( (2.5t)이다.

Figure 9에서 확인할 수 있듯이 실험장치와 추정모델 사이에 약간의 시간지연이 존재하지만 대체적으로 잘 일치하는 것을 확인할 수 있으며 6[s]와 12[s] 부근에서 모델의 출력은 부드러운 곡선으로 표시되나 실제 실험장치의 회전속도가 0인 것은 실험장치의 각종 점성마찰 또는 쿨롱마찰에 의한 것으로 생각된다.

Figure 9: 
Result of parameter estimation in the case of random input