115kW급 벌브형 수차의 설계와 성능분석

2.1 설계조건 및 목표

설계조건 및 목표는 Table 1과 같다. 수차의 효율은 식 (1)과 같으며 Table 1로부터 설계하는 수차의 효율은 88.17 [%]임을 알 수 있다.

Table 1:

Design conditions and requirements

본 연구에서는 벌브형 수차에 고정익을 사용하는 프로펠러 수차를 적용하기로 하였다. 프로펠러 수차의 적합한 동력비속도(N_sp)에 대한 엄밀한 값은 잘 알려지지 않았으나, 수차의 형태가 비슷한 카플란 수차의 동력비속도 범위를 참고할 수 있다. 카플란 수차의 적합한 동력비속도의 범위는 1.8 ~ 5.0 [rad]이다[10]. 동력비속도의 정의는 식 (2)와 같으며 Table 1로부터 설계하는 수차의 동력비속도를 산출하면 4.98 [rad]이다.

본 연구에서 설계하는 프로펠러 수차의 동력비속도는 카플란 수차의 동력비속도 범위에 적합하다. 그러나 프로펠러 수차의 엄밀한 동력비속도 범위는 잘 알려지지 않았으므로 본 연구에서 프로펠러 수차의 적합한 동력비속도 범위를 제안할 것이다.

2.2 유로형상

설계조건 및 목표를 충족하기 위해 설계 중인 수차 유로의 도면과 모델링 결과는 Figure 1과 같다.

Figure 1:

Flow passage of the bulb type turbine: (a) 2D drawing, (b) 3D model

2.3 러너의 설계

러너 설계를 위하여 아래와 같은 가정을 채택하였다. 설계대상인 프로펠러 수차는 축류 수차에 해당하며, 아래의 가정은 축류 수차의 러너를 설계하기 위한 일반적인 가정이다.

가정 (1) : 자오선 속도는 축방향과 평행하다.
가정 (2) : 러너 스판방향의 속도성분은 평균유속(C_a)으로 일정하다.

러너의 팁과 허브의 반경은 각각 182.5 [mm]와 69.35 [mm]이며, 러너 부분의 형상은 Figure 2와 같다. Figure 2는 Figure 1 (a)의 “A” 영역을 확대한 것이다.

Figure 2:

Enlarged view of the “A” part

축류 수차의 러너 속도 삼각형은 허브와 팁 사이의 반경에 위치에 따라 달라진다. 러너의 속도삼각형을 평균반경에서 나타내면 Figure 3과 같다.

Figure 3:

Velocity triangle of the runner

축류 수차의 경우 일반적으로 러너의 입구(하첨자 1)와 출구(하첨자 2)의 유로면적이 같기 때문에 절대속도(C)의 축방향 성분(C_a)는 입·출구에서 동일하다. 러너 입구에서 절대속도 C₁과 깃의 속도 U₁으로부터 상대속도 W₁을 얻을 수 있다. 러너에 유입되는 흐름은 깃과의 충돌손실을 최소화하기 위해 W₁의 방향각은 깃의 각도 β₁과 일치하여야 한다. 깃의 회전속도 U는 속도삼각형의 반경이 변하지 않으므로 입·출구에서 동일하다(U₁=U₂=U). 이러한 경우, 오일러 터빈 방정식은 식 (3)과 같다.

오일러 방정식의 하첨자(θ)는 원주방향을 의미한다. 식 (3)으로부터 러너 출구의 절대속도에 대한 선회 성분(C_θ2)이 없는 것이 유리하다는 것을 알 수 있다. 이 경우, 식 (3)은 식 (4)와 같이 근사화 할 수 있다.

러너 허브와 팁의 반경, 그리고 설계유량(Q)로부터 연속방정식을 이용하여 평균유속(C_a)를 산출하면 약 12 [m/s]이다. 식 (4)의 오일러 수두(E)는 설계목표인 유효낙차(H_eff)와 동일하다. 설계목표의 유효낙차는 12.5 [m]이다. 러너의 스판 방향으로 오일러 수두는 일정하여야 러너 깃의 굽힘을 예방할 수 있다. 러너 출구에서는 절대속도의 선회 성분이 없어야 하므로 U₂=W_2θ이다. 이러한 관계로부터 설계하는 러너의 속도삼각형을 스판 방향으로 얻으면 Table 2와 같다. Table 2에서 주목할 부분은 β₁과 β₂이다. 이 각도들은 깃의 각도와 일치하여야 한다.

Table 2:

Velocity triangle of the runner

Table 2에서 러너를 설계하기 위하여 광범위한 조사를 하였음에도 불구하고 결정할 수 없었던 제원은 러너 깃의 코드(chord) 길이, 깃 수, 팁 간격이다. 최초의 설계에는 평면으로 투영한 깃의 코드 길이를 60 [mm], 그리고 팁 간격은 0.8 [mm]로 결정하였다. 그러나 이 값이 적절한지 여부를 판단할 수 있는 어떠한 모델도 찾을 수 없었으므로 유동해석 결과로부터 코드 길이와 팁 간격을 수정하였다.

축류수차의 적절한 러너 깃의 수는 4 ~ 6개로 알려져 있으나, 엄밀한 깃의 수는 코드 길이에 의해 적절하게 정해질 수 있다. 그러나 설계목표를 달성할 수 있는 코드 길이를 결정할 수 없었으므로 코드 길이에 따른 깃 수의 선정 모델을 사용할 수 없었다. 이에 따라 최초의 설계에서 결정한 투영한 깃의 코드길이(60 mm)와 Table 2의 러너 깃의 각도를 이용하여 BladeGen으로 모델링을 하고 축방향에서 바라보았을 때 반드시 유체의 흐름이 러너 깃을 거치도록 깃의 개수를 결정하였다. Figure 4는 러너 깃 수를 6개와 7개로 결정하였을 때의 러너 모습이다. 러너 깃을 7개로 결정하였을 때 러너 허브측 일부분을 제외하면 대부분의 유체 흐름은 반드시 러너 깃을 거쳐야 한다. 그러므로 러너 깃은 부연한 바와 같이 7개로 결정하였다.

Figure 4:

Runner (view form the rotational axis)

러너 깃의 두께는 BladeGen의 NACA thickness 모델을 Table 3과 같이 적용하여 결정하였다. 러너의 형상은 Figure 5와 같다.

Table 3:

Inputs of the NACA thickness model (runner)

Figure 5:

Isometric drawing for the runner

2.4 가이드 베인의 설계

가이드 베인의 설치 공간은 Figure 1 (a)에서 “B” 영역이며 해당 부분의 확대도는 Figure 6과 같다. Figure 6에 묘사한 축을 기준으로 가이드 베인이 설치될 수 있는 공간은 150 [mm] 정도이다. 이에 따라 평면으로 투영한 가이드 베인의 코드 길이는 150 [mm]로 결정하였다.

Figure 6:

Enlarged view of the “B” part

가이드 베인의 설계를 위한 가정은 아래와 같으며, 가이드 베인과 러너 사이 유로에서 동력의 전달이나 회수가 없었으므로 동일한 유선 상에서 각운동량(rC_θ)는 보존된다.

가정 (1) : 자오선 속도는 가이드 베인의 벽면과 평행하다.
가정 (2) : 가이드 베인의 스판 방향 속도는 평균유속(C_a)로 일정하다.
가정 (3) : 유선은 가이드 베인과 러너의 동일한 스판비를 거친다.

상기의 가정과 각운동량 보존의 법칙, 그리고 가이드 베인의 투영된 코드 길이로부터 가이드 베인의 출구각을 Table 4와 같이 결정할 수 있다. 유동방향과 일치하기 위해 가이드 베인의 입구각도는 전체 스판에서 0 [degree]이다.

Table 4:

Exit angle of the guide vanes

가이드 베인의 설계에서 사전에 확정할 수 없는 것은 가이드 베인의 깃 수이다. L. M. C Ferro et al. [1]은 엄밀한 가이드 베인의 설계방법을 제시하고 있으나, 가이드 베인의 깃 수를 6개로 선정한 이유를 명확하게 설명하지 않았다. 초기 설계에서는 가이드 베인의 깃 수를 12개로 결정하였으며, 수치해석결과로부터 가이드 베인의 깃 수를 수정하였다.

가이드 베인의 두께는 BladeGen의 NACA thickness 모델을 Table 5와 같이 적용하였으며, 12개의 가이드 베인을 형상화하면 Figure 7과 같다.

Table 5:

Inputs of the NACA thickness model (guide vanes)

Figure 7:

The guide vanes (blade no. 12)

3.1 형상 모델링과 격자 형성

Figure 8은 유로 형상과 본 연구에서 설계한 러너 및 가이드 베인 형상을 CATIA V5를 이용하여 결합하고 벌브형 수차의 성능해석에 필요한 유로만을 절취한 것을 나타내고 있다.

Figure 8:

The passage of the bulb type turbine

전체 유로는 용이한 격자 형성과 수치해석을 위해 가이드 베인 상류구간(sector 1), 가이드 베인 구간(sector 2), 러너 구간(sector 3), 디퓨져 구간(sector 4)로 나누었다.

각 구간의 격자 형성에는 ANSYS meshing V13.0을 이용하여 프리즘, 테트라 메쉬를 형성하였다. 격자 의존성 점검 결과는 후술하도록 하겠다.

3.2 수치해석조건

수치해석에는 ANSYS CFX V13.0을 이용하였다. 작동유체인 물의 상태량은 25 [℃]의 상태량을 이용하였다. 설계조건과 설계목표로부터 러너 회전수는 1800 [rpm]으로 설정하였으며, 입구 질량유량은 설계유량과 동일하게 1070.78 [kg/s]로 설정하였다. 출구 압력은 대기압(101.325 [kPa])로 설정하였으며, 원심기계의 성능분석에서 신뢰할 수 있는 SST 난류모델을 사용하였다[11]. 회전 도메인과 비회전 도메인 사이의 인터페이스에는 Frozen rotor 모델을 적용하였으며, 모든 유로의 벽면은 점착조건을 부여하였다.

수치해석에서 조작한 독립변수는 가이드 베인의 개수와 러너 팁 간격, 러너 코드 길이이다.

3.3 수치해석결과

조작한 독립변수와 그에 따른 수치해석결과를 정리하면 Table 6과 같다. 이 결과로부터 유효낙차와 출력을 별도의 그래프로 나타내면 Figure 9와 같다. 목표 유효낙차(12.5 m)와 출력(115.78 kW)을 기대할 수 있는 Case를 정리하면 Case 4, Case 5, Case 7이다.

Table 6:

Performance analysis results

Figure 9:

Case study results

각 케이스에 대해 부연하면 다음과 같다. Case 1에서 Case 3까지는 가이드 베인의 개수를 12 ~ 18개로 증가시키면서 수치해석을 수행하였다. 그러나 가이드 베인의 개수를 증가시키는 전략으로는 목표 유효낙차와 출력을 얻을 수 없었다. 이에 따라 Case 4에서는 러너 팁 간격을 0.8 mm mm에서 0.7 mm로 수정하고 러너의 투영 코드 길이를 60 mm에서 70 mm로 수정하였다. 그 결과 유효낙차와 출력이 급격하게 높아지면서 설계목표인 유효낙차와 출력을 각각 달성하였다. 그러나 이 결과는 목표치를 크게 상회하여 Case 5에서는 유효낙차와 출력을 줄일 목적으로 가이드 베인의 수를 12개로 재차 줄였다. 그러나 그 결과는 크게 효과적이지 못했다. 이에 따라 Case 6에서는 러너의 투영 코드 길이를 70 mm에서 65 mm로 수정하였으며 그 결과는 설계목표를 충족하지 못하였다. 최종적으로 Case 7에서는 러너의 투영 코드 길이를 68 mm로 재차 증가시켰으며 설계목표에 근사한 결과를 얻을 수 있었다. 상기의 과정을 통하여 가이드 베인의 개수 보다는 러너의 코드 길이가 유효낙차와 출력에 큰 영향을 미치는 변수라는 것을 알 수 있으며 목표치에 근사한 러너의 투영 코드 길이는 68 mm인 것을 알 수 있다. 일반적으로 유체기계의 현철비(solidity=c/s)는 러너 깃의 개수 혹은 러너의 코드 길이를 결정하는 중요한 변수이다. 그러나 문헌 조사를 통하여 프로펠러 수차의 이상적인 현철비를 찾을 수 없었으므로 본 연구에서 러너 개수 그리고 코드 길이를 결정함에 어려움이 있었다. 상기의 결과로부터 프로펠러 러너의 현철비를 산출하면 약 1.2이다.

설계목표에 가장 근사한 Case 7의 격자 의존성 점검을 실시하였으며 그 결과는 Table 7과 같다. Case 7-1과 Case 7-2의 결과로부터 유효낙차와 출력에 유의미한 결과의 변화가 없었다. 이것은 최종 결과인 Case 7-2가 격자의존성이 없음을 의미한다. 후술할 수치해석 결과들은 Case 7-2에 해당한다. Case 7-2의 해석에 사용된 격자의 구간별 상세는 Table 8과 같다.

Table 7:

Convergence test results

Table 8:

Detail informations of the meshes (Case 7-2)

SST 난류모델에 신뢰성을 확보하기 위한 y+ 범위는 300이하이다. Table 9는 전체유로에 해당하는 각 벽면의 y+ 값에 대한 면적 평균을 나타내고 있다. 모든 벽면의 y+는 기준을 만족한다.

Table 9:

y+ of the case 7-2

수차의 효율은 식 (1)와 같이 정의되며 Case 7-2의 결과로부터 효율을 산출하면 85.68%이다. 이 수치는 설계목표인 88.17%에 근사한 결과이다.

Figure 10은 구간별 유선을 나타내고 있다. 가이드 베인에 의해 흐름은 선회하며 가속되고 있다. 러너 구간의 상대속도에 대한 유선은 러너 깃을 따라 잘 정렬되어 있다. 러너 구간을 지난 흐름은 선회성분이 없어야 함을 전술한 오일러 터빈 방정식에서 보인 바 있다. Figure 10 (c)는 러너를 지난 흐름을 보이고 있다. 보인 바와 같이 러너 구간을 지난 흐름은 선회성분이 크지 않다. 러너출구의 선회성분에 대한 정량적인 평균값은 선회속도와 선회각도가 각각 0.67 m/s와 3.83 degree에 불과하다.

Figure 10:

Streamline for each sectors; (a) Sector 2, (b) Sector 3, (c) sector 4

3.4 탈설계조건에 대한 수치해석

전술한 바와 같이 프로펠러형 수차의 적합한 동력비속도는 잘 알려지지 않았다. 프로펠러형 수차의 적합한 동력비속도를 정의하기 위하여 탈설계조건에 대한 수치해석을 수행하였다. 수치해석에서 조작한 변수는 유량이다. 설계유량의 0.85 ~ 1.4 범위로 유량을 조정하여 수치해석결과를 얻었다. Figure 11은 유량 변화에 따른 유효낙차와 동력을 나타내고 있으며, Figure 12는 유량 변화에 따른 수차효율과 동력 비속도를 나타내고 있다.

Figure 11:

The effective head and power for various flow rates

Figure 12:

The efficiency and power specific speed for various flow rates

Figure 11에 나타낸 바와 같이 카플란 수차 및 프로펠러 수차와 같은 축류형 수차는 유량이 증가하면 지속적으로 유효낙차와 출력이 증가하는 특성을 갖는다. Figure 12에 나타낸 바와 같이 본 연구에서 설계한 벌브형 수차는 1.0 ~ 1.25에 해당하는 유량비(Q/Q_design) 범위에서 안정적이고 높은 효율을 보이고 있다. Figure 12의 동력비속도에 따른 수차의 효율에서 주목할 필요가 있는 고효율 구간을 별도의 그래프로 나타내면 Figure 13과 같다. Figure 13은 효율85%를 능가하는 동력 비속도 구간이 약 2.7 ~ 4.9 [rad]이며, 최고효율은 약 87.5 [%]로 동력 비속도가 약 3.5 [rad]에서 얻을 수 있음을 보이고 있다. 전술한 바와 같이 프로펠러 수차의 기초자료의 부족으로 본 연구에서는 수차의 형태가 비슷한 카플란 수차의 적절한 비속도 범위를 사용하여 설계조건을 결정하였다. 이에 따라 Figure 12에서 보인 바와 같이 탈설계조건인 1.05 ~ 1.25의 유량비 운전조건일 때 효율이 설계조건일 때의 효율을 오히려 다소 능가한다. 본 연구에서 제시한 프로펠러의 적합한 동력 비속도 범위와 최고 효율은 향후 프로펠러 수차의 설계조건 및 운전조건의 결정에 이용될 수 있을 것이다.

Figure 13:

Relationship between a power specific speed and the efficiency